ユークリッドの原論とは？

古代ギリシアのユークリッドがまとめた『原論』は古代ギリシア数学の集大成ともいえる大書です。

『原論』は、全13巻からなり、幾何学・数論・比などを体系的にまとめた「数学史上もっとも有名な本」と言ってよいでしょう。その影響は絶大で、ヨーロッパでは中世から近世にかけて、多くの数学者がこの本で幾何学を学びました。また長い間、大学の教科書としても使われ続けました。「聖書以外で、世界中でもっとも多く読まれた書物」と称されることもあります。

ユークリッドがこの書物の中で構築した幾何学の体系は、のちに「ユークリッド幾何学」と呼ばれるようになります。幾何学とは、図形や空間の性質を論理的に扱う数学の分野であり、『原論』はその出発点を築いた不朽の一冊といえるでしょう。

原論の構成

『原論』は全13章からなり、主な内容は以下の通りです。
平面幾何（平面図形の基礎、面積、円、円と多角形）
比の理論（量の比、相似、数の比）
比と数論（連比、素数の完全数、非共測量）
立体幾何学（空間図形の基礎、面積と体積、正多面体）

平面図形の基礎である第I巻は次の定義から始まります。
定義1　点とは部分を持たないものである。
定義2　線とは幅のない長さである。
定義3　線の端は点である
…

定義のあとには5つの公準と9つの公理が続きます。公準と公理は命題を証明するための基本ルールのことで、いわば「誰もが認める出発点」 です。ここは証明せず、そのまま正しいものとして扱います。

簡単に言うと、『原論』では、言葉をはっきり定義する → みんなが納得できる前提（公理・公準）を置く → その上で筋道立てて命題を証明する、という順番で話を進めます。この進め方こそ、現代の数学がお手本にしている基本スタイルなのです。

古代ギリシアの量の捉え方

古代ギリシアの人たちは、「数」と「量」をはっきり区別していました。彼らにとって「数」とは、1, 2, 3, …といった自然数のことで、ものを数えるためのものでした。一方、長さ、面積、体積、角度などは「量」として捉えられていました。そして、それぞれの量は「同じ種類のもの同士」でしか「足し引き」や比較ができない、という原則があります。これが、ギリシア数学の大きな特徴です。

古代ギリシア人はこうした量の本質に深く迫ろうとし、そのうえで整然とした幾何学の体系を築きました。『原論』には、こうした基本的な量の性質が明確に示されいます。

ユークリッドクイズ

ユークリッドは、紀元前300年頃にアレクサンドリアで活躍した古代ギリシアの数学者で、『原論』を著した人物として有名です。

数学書クイズ

ユークリッドが著した『原論』は、後の数学者たちに大きな影響を与えてきました。当時の数学を後世に伝える数学書は、数学の発展に重要な役割を果たしています。

『はじめてのユークリッド幾何学』はこれで終了です！

長い年月を超えて読み継がれた『原論』。図形や数の性質を、一歩ずつ論理で積み上げていく姿勢は、今も変わらず大切にされています。『原論』を知ることは、私たちが学んでいる数学の土台を知ることにもつながるのです。